[Seop's의 강의노트] LTI 시스템, 컨벌루션 이란?

저번 포시팅 때 DTFT의 특징 및 성질의 관하여 알아보았다. 
오늘은 그 성질들 중에서 컨벌루션(convolution)에 관한 것을 알아볼까 한다.
일단 convolution 의 뜻이 뭘까? 사전적 의미로는 서로 얽혀 있는 것, 
돌돌 말려있는 것 이라고 해석 할 수 있다.
이를 우리가 지금 공부하고 있는 신호로 가져와서 해석한다면 
신호들이 서로 얽혀있는것 , 말려있는 것 이라고 
생각해 볼 수 있다.

위의 식들을 한번 살펴보자면 입력신호x[n]과 임펄스 응답 신호 h[n]이 서로 영향을 주어서  출력신호 y[n]이 나오게 된다. 
System을 자세히 한번 들여다보면 LTI 시스템이라고 써져있다.
컨벌루션이 가능하려면 LTI 시스템이여야 한다고 한다. 
그렇다면 LTI 시스템이란 무엇일까?

LTI (Linear Time-Invariant) System
직역 하자면 선형 시불변 이란 의미이다. 여기에 하나 생략된것이 있는데 Causality (인과성) 이 생략되어있다. 
즉 Causality Linear Time-Invariant System 이다.
한국어로 하자면 인과 선형 시불변 시스템이다.
이것이 무엇을 의미하는지 한번 살펴보도록 하자. 

Causality(인과성) 
 원인이 있은 후에 결과가 온다는 의미이다. 
우리가 배우는 대부분의 시스템은 원인이 있다. 
즉 입력 없이 출력이 나오는 시스템은 찾기 힘들며 거의 없다.

Linear(선형성) 
중첩의 원리가 적용되는 시스템이란 의미이다.

Time - Invariant(시불변) 
시간이 지나도 같은 기능을 수행하는 시스템이란 의미이다.
예를들어 오전에 시스템을 작동시켰을 때와 오후에 작동시켰을때 
같은 기능을 한다는 의미이다.

위 세가지를 조건을 만족하는 시스템을 우리는 LTI 시스템이라 한다.
(인과성은 당연하므로 생략한다)
LTI 시스템은 우리가 이해할 수 있으면서 원하는데로 컨트롤 할 수 있다.
이제 다시 컨벌루션에 관하여 살펴보자

이렇게 식으로 보니 무엇을 의미하는지 잘 모를 수도
있을 것이라 생각이 든다.
다음 블록도를 살펴보면 컨벌루션에 대한 이해가 좀 더 쉬울것 같다.

 

 

좀 더 이해가 되는가?  저 시스템을 좀 더 말하기 쉽게 표현하자면 LTI 시스템인 이산시스템의 
현재의 출력은 현재와 과거의 입력의 선형조합이라고 말 할 수 있다.
즉 현재의 출력은 현재와 과거의 입력에 대해서 모두 영향을 받는 다는 의미이다.


다소 복잡해 보이기도 한다. 허나 우리는 DTFT라는 도구를 배웠다.
이 도구를 사용하면 컨벌루션을 단순한 곱셈으로 계산 할 수 있다. 
이렇든 시간영역에서는 다소 복잡해 보이는? 계산을 ‘푸리에 분석’이라는 도구를 사용한다면 
보다 쉽게 시스템을 해석하고 만들어 낼 수 있다. 
이것이 우리가 ‘푸리에 분석’을 배운 이유다. 

이제 어느정도 이론은 배웠다. 우리는 엔지니어이다. 위의 이론을 바탕으로우리가 원하고자 하는 신호를 만들고 조정 할 줄 알아야한다. 
다음 포스팅부터는 그 방법에 대해서 차근차근 알아보도록 할 것이다.